复数

为了解决\(x^{2} + 1 = 0\)这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数\(\mathrm{i}\)，使得\(x = \mathrm{i}\)是方程的解，即满足\(\mathrm{i}^{2} = -1\)。 这样，我们就能扩充数系，新数系中的所有数都可以表示为 \[z = a + b \mathrm{i} (a, b \in \mathbb{R})\]

形如这种形式的数叫做复数（complex number），其中\(\mathrm{i}\)叫做虚数单位（imaginary unit）。复数通常用\(z, w\)等字母表示。全体复数构成复数集： \[\mathbb{C} = \{a + b \mathrm{i} | a, b \in \mathbb{R}\}\]

在乐理基础中，我们学习过了和弦与调式等理论。在和声学中，我们会深入研究和弦的构成与进行，也就是和声（harmony）。

和弦功能

每个正三和弦的上方三度或下方三度都各有一个副三和弦，由于正三和弦和相邻的副三和弦有两个共同音，因此功能接近。
主和弦I的上方三度为iii，下方三度为vi，这两个副三和弦与主和弦一起，被归为主功能组（tonic）和弦，记为T（在和声小调中记为t）。主功能组和弦是最稳定的。
类似地，属和弦V和两个副三和弦vii^o、iii都属于属功能组（dominant）和弦，记为D（在和声小调中记为D）。属功能组和弦含有最不稳定的导音，并且属七和弦V⁷和导和弦vii^o中下属音和导音构成了极不协和的三全音，因此属功能组是最不稳定的。
下属功能组（subdominant）和弦由下属和弦IV和vi、ii组成，记为S（在和声小调中记为s）。下属功能组和弦含有下属音但不含导音，因此和弦的张力介于主功能组和弦与属功能组和弦之间，可以起到从主功能组转向属功能组的衔接过渡作用。
七和弦的功能与三和弦相同。

平面向量

有一些量，既具有大小，也具有方向，例如物理学中的力和速度。这样的量，我们称之为向量（vector），在物理上也称为矢量。与之相对，只有大小、没有方向的量（实际上就是实数），我们称之为标量（scalar）或数量。

在空间中，我们可以用一个带箭头的有向线段来表示向量，箭头指向表示方向，线段长度表示大小。在欧氏几何中，向量被严格定义为空间中点的一个有序对\((A, B)\)，\(A\)为起点（initial point），\(B\)为终点（terminal point），记作\(\overrightarrow{AB}\)。有向线段的长度\(|\overrightarrow{AB}|\)称为向量的长度或模（magnitude）。

在不需要知道向量的起点和终点的情况下，向量可以用粗体字母表示，如向量\(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)。手写可以用\(\vec{a}, \vec{b}\)。

声学基础

音乐是由声音构成的艺术，在物理上实际上就是一段声波。声波是一种由振动产生、需要通过介质传播的机械波。声波既然是波，就能分解为一系列特定频率的波的叠加（数学上用傅里叶展开描述），而以某个特定频率进行简谐振动所产生的声波称为纯音（pure tone）。纯音是单一频率的音，是一种正弦波。声音有四要素：音高（pitch）、时长（duration）、响度（loudness）和音色（timbre），声波的振幅决定了其响度，而频率决定了其音高。
与纯音相对，多个纯音的叠加就是复音。在时间的维度下，大量不同的复音的排列成了音乐。

前言

中国现代史始于1949年10月1日中华人民共和国的成立，持续至今，以1978年12月中共十一届三中全会为转折点，可以分为社会主义革命与建设时期（1949—1976）和资本主义复辟时期（1978—）。

本文第一章“解放战争”介绍了中国现代史的前奏——解放战争（1945—1949），第二章“新中国的建立与巩固”、第三章“社会主义革命”介绍了处于新民主主义社会的过渡时期（1949—1956），第四章“全面建设社会主义”介绍了全面建设社会主义时期（1956—1966），第五章“文化大革命的十年”介绍了文化大革命时期（1966—1976）；
第六章“改革开放”介绍了徘徊时期（1976—1978）与改革开放前期（1978—1989），第七章“政治风波与经济改革”、第十章“21世纪的中国”介绍了改革开放后期（1989—）至今；
第八章“一国两制”简要介绍了二战结束后香港与澳门的发展（1945—），第九章“海峡两岸”简要介绍了解放战争后台湾的发展（1949—）。

映射

设\(A, B\)为非空集合，对于任意\(x \in A\)，通过某种法则\(f\)，都有\(B\)中唯一确定的\(y\)与之对应，则称\(f\)是一个从\(A\)到\(B\)的映射（map），记作\(f: A \to B\)。 映射\(f: A \to B\)严格定义为集合\(A, B\)的笛卡尔积\(A \times B = \{(x, y) | x \in A \land y \in B\}\)的一个子集，满足对于任意\(x \in A\)，存在唯一的\(y \in B\)使得\((x, y) \in f\)。

对于一个映射\(f: A \to B\)，
如果\(\forall x, y \in A, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\)，那么称\(f\)为单射（injection）；
如果\(\forall y \in B, \exists x \in A, y = f(x)\)，那么称\(f\)为满射（surjection）；
如果映射\(f\)既是单射又是满射，那么称\(f\)为双射（bijection）。

逻辑

谓词逻辑

谓词逻辑（predicate logic）是数理逻辑的基础。谓词（predicate）是表示性质或关系的词，通常用大写字母\(P, Q, R\)等来表示，而谓词描述的对象称为主词（subject）。例如，设\(P\)表示「考了100分」，\(x\)表示「小刚」，那么命题「小刚考了100分」可以记作\(P(x)\)，其中\(P\)就是谓词，\(x\)就是主词。
有时，我们需要对主词限定范围，进行量化。表示量化的词称为量词（quantifier）。最基本的两种量词是全称量词（universal quantifier）和存在量词（existential quantifier）。

全称量词符号为\(\forall\)，用于表示「任意」（for all）这样的词。例如「所有小朋友\(x\)都考了100分」，可以表示为\(\forall x, P(x)\)。
存在量词符号为\(\exists\)，用于表示「存在」（there exists）这样的词。例如「至少有一个小朋友\(x\)考了100分」，可以表示为\(\exists x, P(x)\)。

前言

youtube-dl是命令行下的一款视频下载工具。虽然名字叫youtube-dl，但除了YouTube外，还支持很多视频网站，例如哔哩哔哩、优酷、爱奇艺等，具体支持网站可参考这份列表。

前言

MkDocs是一个开源的静态站点生成器，支持Markdown，适合发布文档。
而MkDocs Material基于Material设计风格，更加简洁美观，例如OI Wiki就是基于MkDocs Material搭建的。
源代码可以在GitHub上查看。

这好像是全博客第一篇与文化课有点关系的……
（rgq：真好玩）