前言

欧洲中世纪史始于5世纪晚期，终于15世纪晚期，一般以476年西罗马帝国的灭亡作为中世纪开始的标志，以1453年东罗马帝国的灭亡作为结束的标志。中世纪前承古典时代，后继近代的文艺复兴与大航海时代。中世纪可以分为三个时期：前期（5世纪晚期—10世纪）、中期（10世纪—13世纪）、后期（13世纪—15世纪晚期）。

第一章「民族大迁徙与西罗马的灭亡」介绍了中世纪的前奏——民族大迁徙与西罗马的灭亡（5世纪），第二章「早期西方基督教世界」介绍了西欧的基督教世界（6世纪—7世纪），第三章「拜占庭帝国与伊斯兰文明」介绍了中世纪前期东方的拜占庭帝国与伊斯兰文明，第四章「加洛林王朝」介绍了法兰克王国的加洛林王朝（7世纪—9世纪），第五章「新的政治格局」介绍了查理曼帝国的分裂与外敌的入侵形成的新政治格局（9世纪—10世纪），第六章「封建制度与农业社会」介绍了中世纪的基本政治制度与经济制度；
第七章「经济的发展」介绍了中世纪中期的经济发展与社会变化，第八章「宗教与学术」介绍了基督教的发展，第九章「基督教世界的征服与迫害」介绍了西方基督教世界的对外扩张与民族迫害，第十章「教皇政权与神圣罗马帝国」介绍了教权与君权的纷争（12世纪—13世纪），第十一章「政府的发展」介绍了欧洲中央集权国家的形成，第十二章「中世纪中期的思想文化」介绍了中世纪中期欧洲的思想和文学、艺术；
第十三章「危机与复苏」介绍了西欧的由盛转衰，第十四章「民族国家的发展」介绍了欧洲民族国家的发展，第十五章「中世纪晚期的思想文化」介绍了中世纪晚期的思想和文学、艺术。

前言

本文对国家的政治制度与组织形式以及国际组织等政治学基础知识进行介绍，深入学习敬请参考文末的“延伸阅读”。

复数

为了解决\(x^{2} + 1 = 0\)这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数\(\mathrm{i}\)，使得\(x = \mathrm{i}\)是方程的解，即满足\(\mathrm{i}^{2} = -1\)。 这样，我们就能扩充数系，新数系中的所有数都可以表示为 \[z = a + b \mathrm{i} (a, b \in \mathbb{R})\]

形如这种形式的数叫做复数（complex number），其中\(\mathrm{i}\)叫做虚数单位（imaginary unit）。复数通常用\(z, w\)等字母表示。全体复数构成复数集： \[\mathbb{C} = \{a + b \mathrm{i} | a, b \in \mathbb{R}\}\]

在乐理基础中，我们学习过了和弦与调式等理论。在和声学中，我们会深入研究和弦的构成与进行，也就是和声（harmony）。

和弦功能

每个正三和弦的上方三度或下方三度都各有一个副三和弦，由于正三和弦和相邻的副三和弦有两个共同音，因此功能接近。
主和弦I的上方三度为iii，下方三度为vi，这两个副三和弦与主和弦一起，被归为主功能组（tonic）和弦，记为T（在和声小调中记为t）。主功能组和弦是最稳定的。
类似地，属和弦V和两个副三和弦vii^o、iii都属于属功能组（dominant）和弦，记为D（在和声小调中记为D）。属功能组和弦含有最不稳定的导音，并且属七和弦V⁷和导和弦vii^o中下属音和导音构成了极不协和的三全音，因此属功能组是最不稳定的。
下属功能组（subdominant）和弦由下属和弦IV和vi、ii组成，记为S（在和声小调中记为s）。下属功能组和弦含有下属音但不含导音，因此和弦的张力介于主功能组和弦与属功能组和弦之间，可以起到从主功能组转向属功能组的衔接过渡作用。
七和弦的功能与三和弦相同。

平面向量

有一些量，既具有大小，也具有方向，例如物理学中的力和速度。这样的量，我们称之为向量（vector），在物理上也称为矢量。与之相对，只有大小、没有方向的量（实际上就是实数），我们称之为标量（scalar）或数量。

在空间中，我们可以用一个带箭头的有向线段来表示向量，箭头指向表示方向，线段长度表示大小。在欧氏几何中，向量被严格定义为空间中点的一个有序对\((A, B)\)，\(A\)为起点（initial point），\(B\)为终点（terminal point），记作\(\overrightarrow{AB}\)。有向线段的长度\(|\overrightarrow{AB}|\)称为向量的长度或模（magnitude）。

在不需要知道向量的起点和终点的情况下，向量可以用粗体字母表示，如向量\(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)。手写可以用\(\vec{a}, \vec{b}\)。

声学基础

音乐是由声音构成的艺术，在物理上实际上就是一段声波。声波是一种由振动产生、需要通过介质传播的机械波。声波既然是波，就能分解为一系列特定频率的波的叠加（数学上用傅里叶展开描述），而以某个特定频率进行简谐振动所产生的声波称为纯音（pure tone）。纯音是单一频率的音，是一种正弦波。声音有四要素：音高（pitch）、时长（duration）、响度（loudness）和音色（timbre），声波的振幅决定了其响度，而频率决定了其音高。
与纯音相对，多个纯音的叠加就是复音。在时间的维度下，大量不同的复音的排列成了音乐。

前言

中国现代史始于1949年10月1日中华人民共和国的成立，持续至今，以1978年12月中共十一届三中全会为转折点，可以分为社会主义革命与建设时期（1949—1976）和资本主义复辟时期（1978—）。

本文第一章“解放战争”介绍了中国现代史的前奏——解放战争（1945—1949），第二章“新中国的建立与巩固”、第三章“社会主义革命”介绍了处于新民主主义社会的过渡时期（1949—1956），第四章“全面建设社会主义”介绍了全面建设社会主义时期（1956—1966），第五章“文化大革命的十年”介绍了文化大革命时期（1966—1976）；
第六章“改革开放”介绍了徘徊时期（1976—1978）与改革开放前期（1978—1989），第七章“政治风波与经济改革”、第十章“21世纪的中国”介绍了改革开放后期（1989—）至今；
第八章“一国两制”简要介绍了二战结束后香港与澳门的发展（1945—），第九章“海峡两岸”简要介绍了解放战争后台湾的发展（1949—）。

映射

设\(A, B\)为非空集合，对于任意\(x \in A\)，通过某种法则\(f\)，都有\(B\)中唯一确定的\(y\)与之对应，则称\(f\)是一个从\(A\)到\(B\)的映射（map），记作\(f: A \to B\)。 映射\(f: A \to B\)严格定义为集合\(A, B\)的笛卡尔积\(A \times B = \{(x, y) | x \in A \land y \in B\}\)的一个子集，满足对于任意\(x \in A\)，存在唯一的\(y \in B\)使得\((x, y) \in f\)。

对于一个映射\(f: A \to B\)，
如果\(\forall x, y \in A, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\)，那么称\(f\)为单射（injection）；
如果\(\forall y \in B, \exists x \in A, y = f(x)\)，那么称\(f\)为满射（surjection）；
如果映射\(f\)既是单射又是满射，那么称\(f\)为双射（bijection）。

逻辑

谓词逻辑

谓词逻辑（predicate logic）是数理逻辑的基础。谓词（predicate）是表示性质或关系的词，通常用大写字母\(P, Q, R\)等来表示，而谓词描述的对象称为主词（subject）。例如，设\(P\)表示「考了100分」，\(x\)表示「小刚」，那么命题「小刚考了100分」可以记作\(P(x)\)，其中\(P\)就是谓词，\(x\)就是主词。
有时，我们需要对主词限定范围，进行量化。表示量化的词称为量词（quantifier）。最基本的两种量词是全称量词（universal quantifier）和存在量词（existential quantifier）。

全称量词符号为\(\forall\)，用于表示「任意」（for all）这样的词。例如「所有小朋友\(x\)都考了100分」，可以表示为\(\forall x, P(x)\)。
存在量词符号为\(\exists\)，用于表示「存在」（there exists）这样的词。例如「至少有一个小朋友\(x\)考了100分」，可以表示为\(\exists x, P(x)\)。

前言

youtube-dl是命令行下的一款视频下载工具。虽然名字叫youtube-dl，但除了YouTube外，还支持很多视频网站，例如哔哩哔哩、优酷、爱奇艺等，具体支持网站可参考这份列表。