导数
如果函数\(f(x)\)在\(x_{0}\)的一个邻域\((x_{0} - \delta, x_{0} +
\delta)\)有定义,且极限\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} +
\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}\)存在,那么称这个极限为\(f\)在\(x_{0}\)的导数(derivative),记作\(f'(x_{0})\)或\(\dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}
x}(x_{0})\);若设\(y =
f(x)\),则还可以记作\(\left. y'
\right|_{x=x_{0}}\)或\(\left.
\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}
\right|_{x=x_{0}}\)。此时称\(f\)在\(x_{0}\)可导(differentiable)。
如果函数\(f(x)\)在\(x_{0}\)的一个左邻域\((x_{0} - \delta,
x_{0}]\)有定义,且极限\(\lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_{0} +
\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}\)存在,那么称这个极限为\(f\)在\(x_{0}\)的左导数(left
derivative),记作\(f'_{-}(x_{0})\);如果函数\(f(x)\)在\(x_{0}\)的一个右邻域\([x_{0}, x_{0} +
\delta)\)有定义,且极限\(\lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_{0} +
\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}\)存在,那么称这个极限为\(f\)在\(x_{0}\)的右导数(right
derivative),记作\(f'_{+}(x_{0})\)。
显然,函数在\(x_{0}\)可导的充要条件是:它在\(x_{0}\)的左导数和右导数存在且相等。