声学基础
音乐是由声音构成的艺术，在物理上实际上就是一段声波。声波是一种由振动产生、需要通过介质传播的机械波。声波既然是波，就能分解为一系列特定频率的波的叠加（数学上用傅里叶展开描述），而以某个特定频率进行简谐振动所产生的声波称为纯音（pure tone）。纯音是单一频率的音，是一种正弦波。声音有四要素：音高（pitch）、时长（duration）、响度（loudness）和音色（timbre），声波的振幅决定了其响度，而频率决定了其音高。
与纯音相对，多个纯音的叠加就是复音。在时间的维度下，大量不同的复音的排列成了音乐。
以标准的正弦波作为基波，频率是基波整数倍的波就是谐波（harmonic），基音外的各个谐波在音乐中也被称为泛音（overtone）。例如以频率为$f$的纯音为基波，其谐波的频率可分别为$2f, 3f, 4f, \cdots$，这些谐波分别称为二次谐波、三次谐波、四次谐波等等。
一般乐器发音都是复音，由基波及其一系列谐波叠加构成，这样的音称为单音。不同乐器的单音所叠加的谐波在频率和振幅上都不相同，因而造成了千差万别的音色。频谱可以定量地刻画音色。
十二平均律
为了便于乐器或人声奏唱，我们需要把连续的频谱切分出一个个单独的固定频率的音，这就是律制。较为常见的律制有纯律和五度相生律（古称三分损益法），但现今最主流的律制是十二平均律（equal temperament）。
十二平均律把频率为$f$到$2f$的区域（也就是一个八度（octave））等比例地划分成12个频段，每个频段为一个半音（semitone），两个半音为一个全音（whole tone）。这样就得到了13个单音。
音程（interval）描述了两个音的音高的距离，也就是频率差。音程可以从度数和音数来描述。一个半音的音数为0.5，一个全音的音数为1。也就是说，十二平均律中任意两个单音之间的音数为0.5。
频率比为$1:2$的两个单音之间的音程被定义为纯八度。按照十二平均律，根据等比数列，可以得到区间$[f_{1}, 2f_{1}]$上的13个单音：
第$n$个单音的频率为：
每一个单音的频率都是前一个单音的$2^{\frac{1}{12}} \approx 1.06$倍。
如果算上和自己的音程，13个单音之间正好有13种音程，它们都有自己的名称：
| 音数 | 音程名称 |
|---|---|
| 0 | 纯一度 |
| 0.5 | 小二度 |
| 1 | 大二度 |
| 1.5 | 小三度 |
| 2 | 大三度 |
| 2.5 | 纯四度 |
| 3 | 增四度/减五度（三全音） |
| 3.5 | 纯五度 |
| 4 | 小六度 |
| 4.5 | 大六度 |
| 5 | 小七度 |
| 5.5 | 大七度 |
| 6 | 纯八度 |
五线谱
十二平均律只规定了单音的相对音高，要规定绝对音高，需要用到五线谱（staff）。
上图是一个简单的五线谱。五线谱由5条线以及中间的4个间组成，分别称为第一线、第二线、第三线、第四线、第五线和第一间、第二间、第三间、第四间。线和间对应了不同的音高，如果要表示的音高高于或低于五线四间的范围，则要临时加线，依位置称为上加一线、上加二线、上加一间、上加二间或下加一线、下加二线、下加一间、下加二间等等。五线谱实际上是一个二维直角坐标系，从下到上是频率轴，从左到右是时间轴。
这些线和间并不表示某个具体的音高，要确定绝对音高，需要引入谱号（clef）。常见的谱号有高音谱号和低音谱号。上图中的谱号是高音谱号，也称G谱号，通过高音谱号中间圆圈的那条线（通常在第二线）定为名为G的音（小字一组的g1）。低音谱号也称F谱号，低音谱号两点之间的线（通常在第四线）定为名为F的音（小字组的f）。中音谱号较为少见，也称C谱号，中音谱号中间夹住的那条线定为名为C的音（小字一组的c1），一般放在第三线，也有放在第四线作次中音谱号的。
下图中，1、2、3、4分别为高音谱号、中音谱号、次中音谱号、低音谱号。
线和间上的音符（note）由符头、符杆、符尾三部分组成。
不同的音符表示不同的时值。五线谱中时值最长的音符是只有一个空心符头的全音符。空心符头和符杆组成了时值是全音符1/2的二分音符，实心符头和符杆组成了时值是全音符1/4的四分音符。在四分音符基础上，每加一条符尾，音符时值减半，形成了八分音符、十六分音符等等。
与音符相对，休止符（rest）表示音乐停顿的时长，不同的休止符见下图：
五线谱中，每个音符都有一个名称，即音名。音名一共有7个，分别为A、B、C、D、E、F、G，每高或低八度又重复这7个音名。与音名相对应又有7个唱名（solfège），分别为do、re、mi、fa、sol、la、si（西方国家使用ti）。在固定唱名法中，唱名与音名一一对应，do即是C。而在首调唱名法中，只要保证七个单音之间的音程比例关系相等，唱名可以任意平移。也就是说，音名表示绝对音高，而唱名表示相对音高。
音名和唱名对应如下：
| A | B | C | D | E | F | G |
|---|---|---|---|---|---|---|
| la | si（ti） | do | re | mi | fa | sol |
国际标准化组织在ISO 16中将A440定为标准音高，以高音谱中第二线的A（小字一组的a1）作为基准音，频率为440Hz。按照十二平均律，可以算出其它各音的频率。
十二平均律中，去掉音名重复的2倍频率音，一个八度里应该有12个单音，但是音名只有7个，这就需要用到升降记号。音符的后面可以添加升号♯（sharp）或降号♭（flat）表示升高或降低一个半音。如果只是临时改变一个小节中的音符，可以在音符前添上升号或降号，还原号♮（natural）可以将音符还原。重升号（double sharp）𝄪和重降号（double flat）𝄫表示升高或降低两个半音。
临时升降记号（accidental）只对本小节之后的所有音符生效，其它小节以及高或低八度的同音名音符不受影响。如下图中，各音分别是G♯、G♯、G、E、A、G、G♭、E。
如果要改变乐谱中所有的同音名音符（包括高或低八度的音符），可以在谱号后记升降号，称为调号（key signature）。如下图中，各音分别是F♯、G♯、A、B、C♯、D♯、E、F♯。
节奏
拍（beat）是音乐中时间的基本单位。
每分钟的拍数，即bpm（beats per minute），用于表示音乐的速度（tempo）。例如120 bpm表示每分钟120拍。通常，乐曲的开头会有形如♩=120的标记，表示120 bpm，速度是每分钟120个四分音符。
此外，乐曲中还常用一些意大利语词汇来不太精确地表示速度：（排列从慢到快）
| 意大利文 | 中文 | 速度 |
|---|---|---|
| Grave | 庄板 | 25-45 bpm |
| Largo | 广板 | 40-60 bpm |
| Lento | 慢板 | 45-60 bpm |
| Adagio | 柔板 | 66-76 bpm |
| Andante | 行板 | 76-108 bpm |
| Moderato | 中板 | 108-120 bpm |
| Allegretto | 小快板 | 112-120 bpm |
| Allegro | 快板 | 120-156 bpm |
| Vivace | 活板 | 156-176 bpm |
| Presto | 急板 | 168-200 bpm |
还有一些意大利语词汇表示速度的变化：
| 意大利文 | 缩写 | 中文 |
|---|---|---|
| Ritardando | rit. | 渐慢 |
| Rallentando | rall. | 渐慢 |
| Allargando | 渐慢渐强 | |
| Accelerando | accel. | 渐快 |
| Tempo rubato | 自由速度 | |
| a tempo | 恢复原速 | |
| Tempo primo | 恢复原速 |
若干拍构成一个小节（bar），五线谱中用小节线来区分小节。小节与拍子的关系用拍号表示，一般写成分数形式，最常见的就是上面的四四拍。
拍号的分子表示每小节有多少拍，分母表示一拍的音符时值。4
4就表示以四分音符为一拍，每小节四拍。
常见的单拍子有2
4和3
4。
如果把每拍细分，就是复拍子，例如9
8。注意，9
8是复合三拍子，是把简单三拍子中的每拍细分成了三拍，而不能说是简单九拍子。
拍号分子是2、3的，说明这是单拍子；而4、6、9、12，即前面单拍子的倍数，则说明这是复拍子。（在西方英美等国的体系中，四拍子属于单拍子）
钢琴键盘
这是一个标准的钢琴键盘（keyboard），共有88个琴键。每个键对应一个音，越往左音越低，越往右音越高。
相邻两个琴键上的音，无论是白键与黑键还是白键与白键之间，都差半音。
钢琴键盘是由这一组键不断重复排列而成的，白键7个，黑键5个，一共12个键。
七个白键的音名依次为C、D、E、F、G、A、B。
黑键上的音通过升号♯或降号♭表示，例如B左边降一个半音的黑键是降B（B-flat），记为B♭。B♭同时又是A升一个半音，因此也可以记作升A（A-sharp），A♯。这里的五个黑键依次表示为C♯/D♭、D♯/E♭、F♯/G♭、G♯/A♭、A♯/B♭。
B后面又是下一轮的C。为了区分键盘上不同的C，需要对这些音进行分组。
我国采用的分组方法将钢琴键盘分为9个音组。从右边第一个完整的音组开始依次是小字四组、小字三组、小字二组、小字一组、小字组、大字组、大字一组，再加上左右两个不完整的音组，最右边的C被归为小字五组，最左边的A和B被归为大字二组。
小字五组的C记作c5，小字四组的C记作c4，以此类推，小字组的C记作c。大字组的A记作A，大字一组的A记作A1，大字二组的A记作A2，以此类推。通常说的中央C（middle C）指的是小字一组的C，即c1。
美国等国使用的科学音高记号（scientific pitch notation, SPN）直接用音名加上表示所属八度的数字，将钢琴键盘最左边的音记作A0（即大字二组的A2），将中央C记作C4。
自然音程与音阶
通过五线谱，我们可以从度数的维度重新看待音程。五线谱上两个音之间的线数和间数为音程的度数。度数只与音名有关，而与升降记号如何无关。但是，同样的度数可能包含不同的音数，此时音程要根据音数来分析。
一度和八度显然都只有一种情况，因此音程为纯一度/纯八度；
二度时，音数可能为1（如C和D）或0.5（如E和F），音程分别为大二度/小二度，类似地，有大三度/小三度、大六度/小六度、大七度/小七度；
四度时，绝大多数情况都是音数为2.5，音程为纯四度，但F和B相差音数为3，大于纯四度，此时音程为增四度；
五度和四度类似，除了C和F为减五度之外，其它音程为纯五度，增四度/减五度因为音数都是3，也称为三全音（tritone）。
由此就能总结出规律：
1、4、5、8度有纯（perfect，也译作“完全”），还有增4、减5；
2、3、6、7度有大（major）、小（minor）。
从一个八度里任意选取一组音，就产生了音阶（scale）。常见的音阶有7个音，故称七声音阶（heptatonic scale）。do、re、mi、fa、sol、la、si这七个音组成的七声音阶早在十二平均律发明之前就流传于欧洲的教会音乐。这七个音之间分别相隔全音、全音、半音、全音、全音、全音、半音，这样由5个全音和2个半音构成的音阶称为自然音阶（diatonic scale）。由于自然音阶中，只存在上述音程关系（纯一/四/五/八度、大小二/三/六/七度、增四度/减五度），故称其为自然音程。
从自然音阶的任何一个音开始，往上数7个音，就能得到一种新调式。例如re、mi、fa、sol、la、si、do，就构成了“全半全全全半全”的关系，这条音阶就是Dorian调式音阶。显然，自然音阶有7种调式。
在七种调式中，有两种调式成为了主流。第一种是Ionian调式，音阶以“全全半全全全半”排列，被称为（自然）大调（major scale）；第二种是Aeolian调式，音阶以“全半全全半全全”排列，被称为自然小调（natural minor scale）。
从C开始，按大调的“全全半全全全半”排列，就得到了C大调：C、D、E、F、G、A、B；
类似地，可以得到D大调：D、E、F♯、G、A、B、C♯。
从A开始，按自然小调的“全半全全半全全”排列，就得到了a小调：A、B、C、D、E、F、G；
类似地，可以得到c小调：C、D、E♭、F、G、A♭、B♭。
一个八度有12个单音，那么每个音就有12种大调和小调。
需要注意的是，黑键上的音既可以用升号表示，又可以用降号表示，如A♯=B♭。除了C大调和a小调没有升降记号外，选择升降号须按照是升号调还是降号调。
升号调：G、D、A、E、B、F♯、C♯
降号调：F、B♭、E♭、A♭、D♭、G♭、C♭
调性
调式（mode）是若干个不同的音的集合。调式由7个音级（degree）构成，分别用罗马数字表示为I、II、III、IV、V、VI、VII。
主音是调式中最稳定的音，是调式的中心。从主音开始，按音高顺序排列调式各音，就是该调式的音阶。
主音（tonic）I上方相邻的II级音称为上主音（supertonic），而下方的VII级音可能是小二度（大调）或大二度（小调），前者称为导音（leading-tone），后者称为下主音（subtonic）；主音的上方纯五度是属音（dominant），下方纯五度是下属音（subdominant）；主音与属音中间的III级音是中音（mediant），下属音与主音中间的VI级音则是下中音（submediant）。
| 音级 | 名称 |
|---|---|
| I | 主音 |
| II | 上主音 |
| III | 中音 |
| IV | 下属音 |
| V | 属音 |
| VI | 下中音 |
| VII | 导音/下主音 |
其中，I、IV、V三个音级（主、下属、属）称为正音级，而其余四个音级称为副音级。
这些音级可以分为稳定音和不稳定音，不稳定音具有进入稳定音的倾向，而不稳定音根据其倾向进入稳定音的过程称为“解决（resolution）”。主音是最稳定的，其次是属音、中音，这3个音级属于稳定音，其余4个则是不稳定音。下中音和上主音较不稳定，下中音向下解决到属音，有时也可向上移动到主音；上主音解决到主音，也可以解决到中音。下属音和导音最不稳定，有强烈的解决到稳定音的倾向，下属音解决到中音，导音解决到主音。
最主要的调式有两种：大调和小调。
在（自然）大调中，除了中音和下属音、下主音和主音之间是小二度外，其它相邻两音之间均是大二度，也就是“全全半全全全半”。只要确定主音，那么根据调式，调性（tonality）就能确定下来。例如以C为主音的大调式就是最常见的调性——C大调：C、D、E、F、G、A、B。
自然小调的音阶排列为“全半全全半全全”，例如a自然小调：A、B、C、D、E、F、G。习惯上，大调的调名使用大写字母，而小调的调名使用小写字母，如无标明大小，通常指的是大调。
对比C大调（C、D、E、F、G、A、B）和a小调（A、B、C、D、E、F、G）可以发现，C大调从VI级音开始实际上就是a小调，或者说a小调从III级音开始就是C大调。两者是由同一个音阶构成的。这样的两个调，称为关系调（relative key）。C大调是a小调的关系大调，a小调是C大调的关系小调。
对比C大调（C、D、E、F、G、A、B）和c小调（C、D、E♭、F、G、A♭、B♭）可以发现，两者主音相同，但c小调的III、VI、VII级音比C大调低半音。这样的两个调，称为同主音调（parallel key）。
小调还有两种较为少见的变体。和声小调（harmonic minor scale）的VII级音比自然小调高半音，旋律小调（melodic minor scale）的VI级音比和声小调高半音。
| I | II | III | IV | V | VI | VII | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a自然小调 | A | B | C | D | E | F | G |
| a和声小调 | A | B | C | D | E | F | G♯ |
| a旋律小调 | A | B | C | D | E | F♯ | G♯ |
变化音程
前面提到，基本音级C、D、E、F、G、A、B（即自然音阶的7个音级）中只存在自然音程，但如果带上升降号，就是复杂的变化音程了。
在变化音程中，度数的判断和之前一致。如果音数比大音程/纯音程高0.5，则为增（augmented）音程；如果音数比小音程/纯音程低0.5，则为减（diminished）音程。例如，F和G是大二度，F和G♯则为增二度；G♯和A为小二度，G♯和A♭则为减二度。
如果音数比增音程高0.5，则为倍增（doubly augmented）音程；如果音数比减音程低0.5，则为倍减（doubly diminished）音程。例如，F和G♯为增二度，F和G𝄪则为倍增二度；G♯和A♭为减二度，G♯和A𝄫则为倍减二度。
根据听觉上的协和（consonance）与不协和（dissonance）程度，音程可以分为以下四类：
| 协和程度 | 音程 |
|---|---|
| 极完全协和音程 | 纯一度、纯八度 |
| 完全协和音程 | 纯四度、纯五度 |
| 不完全协和音程 | 大小三度、大小六度 |
| 不协和音程 | 大小二度、大小七度、所有增/减/倍增/倍减音程 |
将两个音中的低音升高八度或高音降低八度，两个音的音程会发生变化，也就是转位音程。转位后的音程和原音程的度数和始终为9，而大音程变成小音程，增音程变成减音程，倍增音程变成倍减音程，反之亦然，纯音程不变。例如，音程D—B是大六度，则其转位B—D为小三度。
和弦
和弦（chord）是多个音的组合，通常是按三度叠置构成。常见的和弦有由三个音组成的三和弦（triad）和由四个音组成的七和弦（seventh chord），当然，五个及以上的音也可以组成九和弦等等。
三和弦是三度叠置的三个音构成的和弦，其中，最低的那个音称为根音（root），往上分别是三音和五音。三和弦的相邻两音之间一定是三度的关系，根据不同音程，可以将三和弦分为四种：
| 和弦 | 根音—三音 | 三音—五音 | 根音—五音 |
|---|---|---|---|
| 大三和弦 | 大三度 | 小三度 | 纯五度 |
| 小三和弦 | 小三度 | 大三度 | 纯五度 |
| 增三和弦 | 大三度 | 大三度 | 增五度 |
| 减三和弦 | 小三度 | 小三度 | 减五度 |
例如，
以C为根音的大三和弦（major triad）为C、E、G，记作C或Cmaj；
以D为根音的小三和弦（minor triad）为D、F、A，记作Dm或Dmin；
以B为根音的减三和弦（diminished triad）为B、C、E，记作Bdim或Bo；
以C为根音的增三和弦（augmented triad）为C、E、G♯，记作Caug或C+。
以C大调的7个音为根音，顺阶三度叠置，可以得到7个三和弦，分别为C、Dm、Em、F、G、Am、Bdim。这些和弦称为顺阶和弦（diatonic chord）或调内和弦。
顺阶和弦以调式中的7个音级为根音，可以相应地记作I、II、III、IV、V、VI、VII级和弦。以正音级为根音的三和弦称为正三和弦，以副音级为根音的三和弦称为副三和弦。
正三和弦还可以进一步细分：I级和弦为主和弦，IV级和弦为下属和弦，V级和弦为属和弦。对于C大调而言，3个正三和弦分别是C（主和弦）、F（下属和弦）、G（属和弦）。
在标记级数和弦时，大三和弦用大写罗马数字表示，小三和弦用小写罗马数字表示，增三和弦在大三和弦后上标+号，减三和弦在小三和弦后上标o号。
| I级和弦 | II级和弦 | III级和弦 | IV级和弦 | V级和弦 | VI级和弦 | VII级和弦 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I | ii | iii | IV | V | vi | viio |
如果以三和弦的三音或五音为低音来得到新的和弦，这个过程就叫转位（inversion），和弦转位性质不变。每个三和弦都有两个转位：以三音为低音是第一转位（first inversion），以五音为低音是第二转位（second inversion）。
例如，大三和弦C由C、E、G构成，其第一转位就是E、G、C，记作C/E。第一转位音程关系是三度加四度，低音和上面两个音分别是三度和六度，所以也叫六和弦，记作C6，大三和弦的第一转位就是大六和弦。
C的第二转位是G、C、E，记作C/G。第二转位音程关系是四度加三度，低音和上面两个音分别是四度和六度，所以也叫四六和弦，记作C46，大三和弦的第二转位就是大四六和弦。
七和弦可以看作是三和弦的基础上增加了根音上方七度的音，因此七和弦有八种：
| 常用名称 | 系统名称 | 三和弦 | 根音—七音 |
|---|---|---|---|
| 属七和弦 | 大小七和弦 | 大三和弦 | 小七度 |
| 大七和弦 | 大大七和弦 | 大三和弦 | 大七度 |
| 小七和弦 | 小小七和弦 | 小三和弦 | 小七度 |
| 小大七和弦 | 小大七和弦 | 小三和弦 | 大七度 |
| 半减七和弦 | 减小七和弦 | 减三和弦 | 小七度 |
| 减七和弦 | 减减七和弦 | 减三和弦 | 大七度 |
| 增属七和弦 | 增小七和弦 | 增三和弦 | 小七度 |
| 增大七和弦 | 增大七和弦 | 增三和弦 | 大七度 |
例如，
以C为根音的大七和弦（major seventh chord）为C、E、G、B，记作Cmaj7或CM7；
以D为根音的小七和弦（minor seventh chord）为D、F、A、C，记作Dm7或Dmin7；
以G为根音的属七和弦（dominant seventh chord）为G、B、D、F，记作G7；
以C为根音的小大七和弦（minor major seventh chord）为C、E♭、G、B，记作CmM7或Cmmaj7；
以B为根音的半减七和弦（half-diminished seventh chord）为B、D、F、A，记作Bø或Bm7-5或Bm7(♭5)，因为在小七和弦的基础上降低了五音，也叫小七减五和弦；
以C为根音的减七和弦（diminished seventh chord）为C、E♭、G♭、B𝄫，记作Cdim7或Co7；
以C为根音的增大七和弦（augmented major seventh chord）为C、E、G♯、B，记作CaugM7或Cmaj7(♯5)；
以C为根音的增属七和弦（augmented dominant seventh chord）为C、E、G♯、B♭，记作Caug7或C7(♯5)。
C大调的顺阶七和弦分别是Cmaj7、Dm7、Em7、Fmaj7、G7、Am7、Bø，级数和弦可以对应表示为IM7、ii7、iii7、IVM7、V7、vi7、viiø。
七和弦有三个转位：
第一转位的低音与上面三个音分别是三度、五度、六度，所以也叫五六和弦，CM7/E也记作C56；
第二转位的低音与上面三个音分别是三度、四度、六度，所以也叫三四和弦，CM7/G也记作C34；
第三转位的低音与上面三个音分别是二度、四度、六度，所以也叫二和弦，CM7/B也记作C2。
五度循环圈
C大调没有升降记号。从C大调开始，G、D、A、E、B、F♯、C♯大调的调号依次多一个升号，F、B♭、E♭、A♭、D♭、G♭、C♭大调的调号依次多一个降号。把升号调顺时针排列，降号调逆时针排列，就得到了五度循环圈（circle of fifths）。其中，B/C♭、F♯/G♭、C♯/D♭分别是同一个音，这就解释了为什么理论上有15个大调（1个C大调、7个升号调、7个降号调），而实际上只有12个大调，因为有3个调是重复的。
在五度圈中也可以找到升号调或降号调调号的排列顺序。从F顺时针到B，F、C、G、D、A、E、B即是升号的添加顺序；从B逆时针到F，B、E、A、D、G、C、F即是降号的添加顺序。
可以发现，五度圈的相邻两格总是相差纯五度。
我们知道，把大调的III、VI、VII级音降半音就可以得到同主音小调。因此，每个大调逆时针数3格，就可以得到对应的同主音小调；而关系大小调调号一致，顺时针数3格得到的大调的同主音小调就是该大调的关系小调。例如，C大调逆时针数3格是E♭大调，那么c小调的调号就和E♭大调相同；C大调顺时针数3格是A大调，那么C大调的关系小调就是a小调。
