在平面内取一点\(O\)，称为极点（pole）；作一条以它为起点的射线\(x\)，称为极轴（polar axis）。这样就构成了极坐标系（polar coordinate system）。对极点外任意一点\(P\)，\(|OP|\)称为点\(P\)的极径（radial coordinate），一般用\(r\)表示；从极轴到射线\(OP\)的角，称为点\(P\)的极角（angular coordinate），一般用\(\theta\)表示。有序实数对\((r, \theta)\)就是点\(P\)的极坐标（polar coordinates）。
日本古代史始于原始社会，终于1868年明治维新。其中，镰仓时代与室町时代又称日本中世史，安土桃山时代与江户时代又称日本近世史。
第一章“原始社会”介绍了旧石器时代（—前14000）、绳纹时代（前14000—前3世纪）与弥生时代（前3世纪—3世纪），第二章“奴隶社会”介绍了古坟时代（3世纪—592）；
第三章“大化改新与封建制的确立”介绍了飞鸟时代（592—710），第四章“奈良时代”介绍了奈良时代（710—794），第五章“平安时代”介绍了平安时代（794—1185）；
第六章“镰仓时代”介绍了镰仓时代（1185—1333），第七章“室町时代前期与南北朝时代”介绍了室町时代前期（1336—1467）与南北朝时代（1336—1392），第八章“室町时代后期与战国时代”介绍了室町时代后期（1467—1573）与战国时代（1467—1590）；
第九章“安土桃山时代”介绍了安土桃山时代（1573—1603），第十章“江户时代”介绍了黑船来航前的江户时代（1603—1853），第十一章“幕末的危机”介绍了江户时代末期（1853—1868）。
人类的发音器官分为三大部分：动力（肺）、发音体（声带）和共鸣腔（口腔、鼻腔、咽腔）。人类的发音也必须经过三个步骤：气流、发声和调音。气流是肺所起的作用，发声是声带所起的作用，调音主要是口腔所起的作用。
如果一个节点同时也是它自己的祖先，那么对于有根树来说，两个节点的公共祖先中离根最远的就是最近公共祖先（lowest common ancestor, LCA）。
研究不等式的出发点是实数的大小关系。不等式的基础建立在以下两条公理之上：
公理1：对于任意实数\(a\)，\(a =
0\)、\(a\)为正数、\(a\)为负数这三者有且只有一个成立。
公理2：对于任意正数\(a,
b\)，\(a + b, ab\)都是正数。
由这两条公理可以得到推论：
对于任意正数\(a\)和负数\(b\)，\(ab\)是负数；对于任意负数\(a, b\)，\(a +
b\)是负数，\(ab\)是正数。
如果\(a - b\)是正数，那么称\(a\)大于（greater
than）\(b\)，记作\(a > b\)；如果\(a - b\)是负数，那么称\(a\)小于（less than）\(b\)，记作\(a <
b\)。这两种不等关系都属于严格不等（strict
inequalities）。
另外，如果\(a > b\)或\(a = b\)，那么称\(a\)大于等于（greater than or equal
to）\(b\)，记作\(a \ge b\)；如果\(a < b\)或\(a =
b\)，那么称\(a\)小于等于（less than or equal
to）\(b\)，记作\(a \le b\)。
实际上，令\(b = 0\)，那么\(a > 0\)就表示\(a\)是正数，\(a < 0\)就表示\(a\)是负数。
平面几何研究的对象是点（point）与直线（line），而在立体几何中，平面（plane）也成为了研究对象。
尽管平面是无限延伸的，但在画图时我们用一个平行四边形来表示平面。平面可以用一个希腊字母表示，例如\(\alpha,
\beta\)；也可以用平面内的点表示，例如平面\(ABCD\)。
平面几何是在欧几里得（Euclid，约前325—约前270）的五条公理上建立起来的，这些公理在立体几何中仍然成立，并与下面的三条立体几何基本公理共同构成了立体几何。
欧洲中世纪史始于5世纪晚期，终于15世纪晚期，一般以476年西罗马帝国的灭亡作为中世纪开始的标志，以1453年东罗马帝国的灭亡作为结束的标志。中世纪前承古典时代，后继近代的文艺复兴与大航海时代。中世纪可以分为三个时期：前期（5世纪晚期—10世纪）、中期（10世纪—13世纪）、后期（13世纪—15世纪晚期）。
第一章「民族大迁徙与西罗马的灭亡」介绍了中世纪的前奏——民族大迁徙与西罗马的灭亡（5世纪），第二章「早期西方基督教世界」介绍了西欧的基督教世界（6世纪—7世纪），第三章「拜占庭帝国与伊斯兰文明」介绍了中世纪前期东方的拜占庭帝国与伊斯兰文明，第四章「加洛林王朝」介绍了法兰克王国的加洛林王朝（7世纪—9世纪），第五章「新的政治格局」介绍了查理曼帝国的分裂与外敌的入侵形成的新政治格局（9世纪—10世纪），第六章「封建制度与农业社会」介绍了中世纪的基本政治制度与经济制度；
第七章「经济的发展」介绍了中世纪中期的经济发展与社会变化，第八章「宗教与学术」介绍了基督教的发展，第九章「基督教世界的征服与迫害」介绍了西方基督教世界的对外扩张与民族迫害，第十章「教皇政权与神圣罗马帝国」介绍了教权与君权的纷争（12世纪—13世纪），第十一章「政府的发展」介绍了欧洲中央集权国家的形成，第十二章「中世纪中期的思想文化」介绍了中世纪中期欧洲的思想和文学、艺术；
第十三章「危机与复苏」介绍了西欧的由盛转衰，第十四章「民族国家的发展」介绍了欧洲民族国家的发展，第十五章「中世纪晚期的思想文化」介绍了中世纪晚期的思想和文学、艺术。
本文对国家的政治制度与组织形式以及国际组织等政治学基础知识进行介绍，深入学习敬请参考文末的“延伸阅读”。
为了解决\(x^{2} + 1 = 0\)这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数\(\mathrm{i}\)，使得\(x = \mathrm{i}\)是方程的解，即满足\(\mathrm{i}^{2} = -1\)。 这样，我们就能扩充数系，新数系中的所有数都可以表示为 \[z = a + b \mathrm{i} (a, b \in \mathbb{R})\]
形如这种形式的数叫做复数（complex number），其中\(\mathrm{i}\)叫做虚数单位（imaginary unit）。复数通常用\(z, w\)等字母表示。全体复数构成复数集： \[\mathbb{C} = \{a + b \mathrm{i} | a, b \in \mathbb{R}\}\]
