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永远相信美好的事情即将发生
研究不等式的出发点是实数的大小关系。不等式的基础建立在以下两条公理之上:
公理1:对于任意实数$a$,$a = 0$、$a$为正数、$a$为负数这三者有且只有一个成立。
公理2:对于任意正数$a, b$,$a + b, ab$都是正数。
由这两条公理可以得到推论:
对于任意正数$a$和负数$b$,$ab$是负数;对于任意负数$a, b$,$a + b$是负数,$ab$是正数。
如果$a - b$是正数,那么称$a$大于(greater than)$b$,记作$a > b$;如果$a - b$是负数,那么称$a$小于(less than)$b$,记作$a < b$。这两种不等关系都属于严格不等(strict inequalities)。
另外,如果$a > b$或$a = b$,那么称$a$大于等于(greater than or equal to)$b$,记作$a \ge b$;如果$a < b$或$a = b$,那么称$a$小于等于(less than or equal to)$b$,记作$a \le b$。
实际上,令$b = 0$,那么$a > 0$就表示$a$是正数,$a < 0$就表示$a$是负数。
欧洲中世纪史始于5世纪晚期,终于15世纪晚期,一般以476年西罗马帝国的灭亡作为中世纪开始的标志,以1453年东罗马帝国的灭亡作为结束的标志。中世纪前承古典时代,后继近代的文艺复兴与大航海时代。中世纪可以分为三个时期:前期(5世纪晚期-10世纪)、中期(10世纪-13世纪)、后期(13世纪-15世纪晚期)。
第一章“民族大迁徙与西罗马的灭亡”介绍了中世纪的前奏——民族大迁徙与西罗马的灭亡(5世纪),第二章“早期西方基督教世界”介绍了西欧的基督教世界(6世纪-7世纪),第三章“拜占庭帝国与伊斯兰文明”介绍了中世纪前期东方的拜占庭帝国与伊斯兰文明,第四章“加洛林王朝”介绍了法兰克王国的加洛林王朝(7世纪-9世纪),第五章“新的政治格局”介绍了查理曼帝国的分裂与外敌的入侵形成的新政治格局(9世纪-10世纪),第六章“封建制度与农业社会”介绍了中世纪的基本政治制度和经济制度;
第七章“经济的发展”介绍了中世纪中期的经济发展与社会变化,第八章“宗教与学术”介绍了基督教的发展,第九章“基督教世界的征服与迫害”介绍了西方基督教世界的对外扩张与民族迫害,第十章“教皇政权与神圣罗马帝国”介绍了教权与君权的纷争(12世纪-13世纪),第十一章“政府的发展”介绍了欧洲中央集权国家的形成,第十二章“中世纪中期的思想文化”介绍了中世纪中期欧洲的思想和文学、艺术;
第十三章“危机与复苏”介绍了西欧的由盛转衰,第十四章“民族国家的发展”介绍了欧洲民族国家的发展,第十五章“中世纪晚期的思想文化”介绍了中世纪晚期的思想和文学、艺术。