平面向量

有一些量，既具有大小，也具有方向，例如物理学中的力和速度。这样的量，我们称之为向量（vector），在物理上也称为矢量。与之相对，只有大小、没有方向的量（实际上就是实数），我们称之为标量（scalar）或数量。

在空间中，我们可以用一个带箭头的有向线段来表示向量，箭头指向表示方向，线段长度表示大小。在欧氏几何中，向量被严格定义为空间中点的一个有序对$(A, B)$，$A$为起点（initial point），$B$为终点（terminal point），记作$\overrightarrow{AB}$。有向线段的长度$|\overrightarrow{AB}|$称为向量的长度或模（magnitude）。

在不需要知道向量的起点和终点的情况下，向量可以用粗体字母表示，如向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$。手写可以用$\vec{a}, \vec{b}$。

长度为$0$，也就是起点和终点相同的向量，称为零向量（zero vector），记作$\mathbf{0}$。长度为$1$的向量称为单位向量（unit vector）。

两个非零向量$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}$，如果$AB \parallel CD$或$A, B, C, D$四点共线，那么称这两个向量为平行向量（parallel vector）。向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$平行，记作$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$。平行向量通过平移可以放到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量（collinear vector）。
如图，两个平行向量$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}$，作平行四边形$ABEC$后若线段$CE, CD$存在包含关系，则称之为同向的，否则称之为反向的。
同向向量

若两个同向向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$长度相等，则称这两个向量相等，记作$\mathbf{a} = \mathbf{b}$。
若两个反向向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$长度相等，则称这两个向量相反，记作$\mathbf{a} = -\mathbf{b}$或$\mathbf{b} = -\mathbf{a}$。易知$-(-\mathbf{a}) = \mathbf{a}$。

零向量与任意向量平行；
所有零向量相等，且互为相反。

线性运算

由位移的合成得到启发，可以定义向量的加法：
设非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$，取任意一点$A$，作$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}, \overrightarrow{BC} = \mathbf{b}$，则

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \overrightarrow{AC}$

这种求向量和的方法叫做三角形法则。

而由力的合成，可以用另一种方式定义向量的加法：
设非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$，取任意一点$A$，作$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}, \overrightarrow{AC} = \mathbf{b}$，作平行四边形$ABDC$，则

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \overrightarrow{AD}$

这种求向量和的方法叫做平行四边形法则。

从几何上不难证明平行四边形法则和三角形法则是等价的。

向量加法

零向量与任意向量相加结果不变，即$\mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{a} = \mathbf{a}$。
向量加法也满足交换律与结合律。

根据三角形三边关系的不等式，可以得到三角不等式（triangle inequality）：

$||\mathbf{a}| - |\mathbf{b}|| \le |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$

向量的减法定义为：

$\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})$

向量减法

设任意向量$\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}$和实数$\lambda$。
$\lambda > 0$时，将线段$AB$延长（缩短）到$\lambda$倍，即$|AC| = \lambda |AB|$，此时定义向量的数乘为：

$\lambda \mathbf{a} = \overrightarrow{AC}$

$\lambda < 0$时，定义：

$\lambda \mathbf{a} = -((-\lambda) \mathbf{a})$

$\lambda = 0$时，定义

$0 \mathbf{a} = \mathbf{0}$

这样就完整地定义了向量的数乘。由定义可得，

$|\lambda \mathbf{a}| = |\lambda| |\mathbf{a}|$

数乘满足以下运算律：

结合律：$(\lambda \mu) \mathbf{a} = \lambda (\mu \mathbf{a}) = \mu (\lambda \mathbf{a})$
标量分配律：$(\lambda + \mu) \mathbf{a} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{a}$
向量分配律：$\lambda (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \lambda \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$

共线向量定理有：
非零向量$\mathbf{a}$与向量$\mathbf{b}$共线的充要条件是：存在唯一实数$\lambda$，使得$\mathbf{b} = \lambda \mathbf{a}$。
证明如下：
充分性：由数乘定义可知，$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共线。
必要性：$\mathbf{b} = \dfrac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|} \mathbf{a}$，而$\mathbf{a}$非零。
唯一性：若$\mathbf{b} = \lambda \mathbf{a} = \mu \mathbf{a}$，则$(\lambda - \mu) \mathbf{a} = \mathbf{0}$。由于$\mathbf{a}$非零，所以$\lambda = \mu$。$\Box$

由共线向量定理，可以得到一个推论：
设$A, B, C$为平面内三点，则三点共线的充要条件是：存在实数$\lambda, \mu$满足$\lambda + \mu = 1$，且对于平面内任意一点$O$都有$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$。

向量的加、减、数乘统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量。
设向量$\mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$，实数$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$不全为零，则称$\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \mathbf{a}_{i}$为它们的线性组合（linear combination）。

数量积

物理中学过，如果力$\mathbf{F}$与位移$\mathbf{x}$的夹角为$\theta$，则功

$W = |\mathbf{F}| |\mathbf{x}| \cos \theta$

我们可以根据这个结果来定义向量的数量积。
设$O$为平面内一点，非零向量$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{b} = \overrightarrow{OB}$，则称$\angle AOB$为向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的夹角（included angle），记作$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle, \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \in [0, \pi]$。
显然，夹角为$0$时，两个向量同向；夹角为$\pi$时，两个向量反向。若夹角为$\dfrac{\pi}{2}$，则称两个向量垂直（perpendicular），记作$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$。

设向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的夹角为$\theta$，定义非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的数量积（scalar product）或内积（inner product）或点积（dot product）（严格说来，数量积、内积、点积是有区别的，但这里不作区分）为：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$

注意，向量之间用的是表示点乘运算的点号$\cdot$（读作dot）。

规定零向量与任意向量的数量积都是$0$。
这样，功实际上就是一个数量积：$W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{x}$。
与线性运算不同，两个向量的数量积是一个标量。

由数量积的定义可得：

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \arccos \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$

两个相等向量的数量积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$记作$\mathbf{a}^{2}$。易得$\mathbf{a}^{2} = |\mathbf{a}|^{2}$，即$|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a}^{2}}$。

显然，对于非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$，$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$的充要条件是$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$。这个定理可以用于证明几何上的垂直。

数量积满足以下运算律：

交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
数乘结合律：$(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (\lambda \mathbf{b})$
分配律：$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$

可以推出，

$\begin{align} & (\mathbf{a} + \mathbf{b})^{2} = \mathbf{a}^{2} + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^{2} \\ & (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a}^{2} - \mathbf{b}^{2} \end{align}$

这样，就可以用向量来证明余弦定理了（几何证明、三角证明）：

$\begin{align} a^{2} &= |\overrightarrow{BC}|^{2} \\ &= |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|^{2} \\ &= |\overrightarrow{AC}|^{2} + |\overrightarrow{AB}|^{2} - 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= b^{2} + c^{2} - 2bc \cos A \quad \Box \end{align}$

设非零向量$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{b} = \overrightarrow{OB}$，作$AA_{1} \perp OB$，垂足为$A_{1}$，则称向量$\overrightarrow{OA_{1}}$为向量$\mathbf{a}$在$\mathbf{b}$上的投影向量（projection），记作$\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}$。显然，投影向量与投影的对象向量总是共线。
从投影的角度来看，我们可以认为数量积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}| |\mathbf{b}| \operatorname{sgn} (\cos \theta) = (\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}$。

由$-1 \le \cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \le 1$，可以得到一个非常重要的不等式——柯西-施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz inequality）：

$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|$

等号成立当且仅当$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$。

此外，还有一个解题时常用的等式——极化恒等式（polarization identity）：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \dfrac{1}{4} (|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^{2} - |\mathbf{a} - \mathbf{b}|^{2})$

证明非常简单：
由

$\begin{align} & (\mathbf{a} + \mathbf{b})^{2} = \mathbf{a}^{2} + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^{2} \\ & (\mathbf{a} - \mathbf{b})^{2} = \mathbf{a}^{2} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^{2} \end{align}$

两式相减，即可得$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \dfrac{1}{4} (|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^{2} - |\mathbf{a} - \mathbf{b}|^{2})$。$\Box$

坐标表示

平面向量基本定理：
如果$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量$\mathbf{a}$，有且只有一对实数$\lambda_{1}, \lambda_{2}$，使得

$\mathbf{a} = \lambda_{1} \mathbf{e}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{e}_{2}$

证明：
存在性：如图，设$\mathbf{e}_{1} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{e}_{2} = \overrightarrow{OB}, \mathbf{a} = \overrightarrow{OC}$。

过点$C$作$OA, OB$的平行线分别交$OB, OA$于点$E, D$，则$ODCE$为平行四边形。根据向量加法的定义，$\mathbf{a} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE}$。根据共线向量定理，存在实数$\lambda_{1}, \lambda_{2}$使得$\overrightarrow{OD} = \lambda_{1} \mathbf{e}_{1}, \overrightarrow{OE} = \lambda_{2} \mathbf{e}_{2}$。故$\mathbf{a} = \lambda_{1} \mathbf{e}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{e}_{2}$。
唯一性：设$\mathbf{a} = \lambda_{1} \mathbf{e}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{e}_{2} = \mu_{1} \mathbf{e}_{1} + \mu_{2} \mathbf{e}_{2}$，则$(\lambda_{1} - \mu_{1}) \mathbf{e}_{1} = (\mu_{2} - \lambda_{2}) \mathbf{e}_{2}$。如果$\lambda_{1} \ne \mu_{1}$，那么$\mathbf{e}_{1} = \dfrac{\mu_{2} - \lambda_{2}}{\lambda_{1} - \mu_{1}} \mathbf{e}_{2}$。根据共线向量定理，$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$共线，矛盾。故$(\mu_{2} - \lambda_{2}) \mathbf{e}_{2} = \mathbf{0}$，因为$\mathbf{e}_{2}$非零，所以$\lambda_{2} = \mu_{2}$。$\Box$

对于平面内任意两个不共线向量$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$，我们称$\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\}$为这个平面的一组基（basis）或基底，$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$称为基向量（basis vector）。
平面内的一点$O$与一组基$\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\}$共同构成了这个平面的仿射标架（affine frame），又称仿射坐标系（affine coordinate system），记作$\{O; \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\}$。$O$称为原点（origin），平面内任意一点$A$的坐标都可以用向量$\overrightarrow{OA}$表示。这样，一个点与一个向量一一对应就转换为了一个点与一个二元实数对一一对应，每一点的坐标都可以表示为$(\lambda_{1}, \lambda_{2})$。点在仿射标架中的坐标称为仿射坐标。
如果基向量两两垂直，则称该仿射标架为直角标架，也称直角坐标系。点在直角坐标系中的坐标称为直角坐标。直角坐标系是特殊的仿射坐标系，它有一些很好的性质，在进行相关计算时会变得非常简便。

在平面内建立一个直角坐标系$xOy$，分别记$x, y$轴正方向的单位向量为$\mathbf{i}, \mathbf{j}$，就得到了我们熟悉的平面直角坐标系（二维笛卡尔坐标系，two-dimensional Cartesian coordinate system），记作$\{O; \mathbf{i}, \mathbf{j}\}$。
根据平面向量基本定理，任一平面向量$\mathbf{a}$必可以表示为

$\mathbf{a} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j}$

若令$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}$，则点$A$坐标为$(x, y)$。$(x, y)$就叫做向量$\mathbf{a}$的坐标表示，记作

$\mathbf{a} = (x, y)$

向量的运算也可以转化为坐标进行运算。
设$\mathbf{a} = (x_{1}, y_{1}), \mathbf{b} = (x_{2}, y_{2})$，线性运算很好得到：

$\begin{align} & \mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}) \\ & \lambda \mathbf{a} = (\lambda x_{1}, \lambda y_{1}) \end{align}$

共线向量定理也可以用坐标加以改造，使得判定向量共线更加方便：
设$\mathbf{a} = (x_{1}, y_{1}), \mathbf{b} = (x_{2}, y_{2})$，则$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共线的充要条件是：

$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

接下来，设向量$\mathbf{a} = (x_{1}, y_{1}), \mathbf{b} = (x_{2}, y_{2})$，求数量积

$\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= (x_{1} \mathbf{i} + y_{1} \mathbf{j}) \cdot (x_{2} \mathbf{i} + y_{2} \mathbf{j}) \\ &= x_{1} x_{2} \mathbf{i}^{2} + x_{1} y_{2} \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} + y_{1} x_{2} \mathbf{j} \cdot \mathbf{i} + y_{1} y_{2} \mathbf{j}^{2} \end{align}$

因为$\mathbf{i}^{2} = \mathbf{j}^{2} = 1, \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0$，所以

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

设向量$\mathbf{a} = (x, y)$，由此可推得，

$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

设向量$\mathbf{a} = (x_{1}, y_{1}), \mathbf{b} = (x_{2}, y_{2})$，由数量积定义得到，

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \arccos \dfrac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{\sqrt{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}$

$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$的充要条件是$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$。

由柯西-施瓦茨不等式，即得二维柯西不等式：

$(x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2}) \ge (x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})^{2}$

等号成立当且仅当$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$。

空间向量

空间向量的定义与平面向量一致，线性运算、数量积以及共线（平行）向量也完全相同，这里不再赘述，而只研究空间向量特有的内容。

如果三个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$可以通过平移放在同一平面内，即令$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{b} = \overrightarrow{OB}, \mathbf{c} = \overrightarrow{OC}$，则$O, A, B, C$四点共面，那么称它们为共面向量（coplanar vector）。
根据立体几何基本公理，两个向量永远共面。如果三个向量中包含零向量，那么它们永远共面；也就是说，三个不共面的向量一定不含零向量。

共面向量定理有：
向量$\mathbf{c}$与不共线的两个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对$(\lambda, \mu)$使得$\mathbf{c} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}$。
证明如下：
必要性：由平面向量基本定理得知。

充分性：如图，设$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$不共面，$\mathbf{c} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}$。令$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{b} = \overrightarrow{OB}, \mathbf{c} = \overrightarrow{OC}$。过点$C$作平面$OAB$的垂线，垂足为$H$。因为不共面，点$C$在平面外，$\overrightarrow{HC} \ne \mathbf{0}$，此时$\mathbf{c} = \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HC}$。因为$H$在平面$OAB$内，由平面向量基本定理，存在实数$\lambda_{1}, \mu_{1}$使得$\overrightarrow{OH} = \lambda_{1} \mathbf{a} + \mu_{1} \mathbf{b}$。这样，$\overrightarrow{HC} = (\lambda - \lambda_{1}) \mathbf{a} + (\mu - \mu_{1}) \mathbf{b}$，与$\overrightarrow{HC} \perp \mathbf{a}, \overrightarrow{HC} \perp \mathbf{b}$矛盾。故充分性成立。$\Box$

由共面向量定理，可以得到一个推论：
设$A, B, C, D$为空间内四点，则四点共面的充要条件是：存在实数$\lambda, \mu, \nu$满足$\lambda + \mu + \nu = 1$，且对于空间内任意一点$O$都有$\overrightarrow{OD} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB} + \nu \overrightarrow{OC}$。

平面向量基本定理在空间上推广，得到空间向量基本定理：
如果三个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$不共面，那么对于任一空间向量$\mathbf{d}$，存在唯一的有序实数组$(\lambda, \mu, \nu)$，使得

$\mathbf{d} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} + \nu \mathbf{c}$

证明：

存在性：如图，设$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{b} = \overrightarrow{OB}, \mathbf{c} = \overrightarrow{OC}, \mathbf{cd} = \overrightarrow{OD}$。过点$D$作平面$OAB$的平行平面，与$OC$交于点$E$。由共线向量定理，存在实数$\nu$使得$\overrightarrow{OE} = \nu \mathbf{c}$。
设平面$ODE \cap$平面$OAB = l$，根据立体几何，$DE \parallel l$，所以向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \overrightarrow{ED}$共面。由平面向量基本定理，存在实数$\lambda, \mu$使得$\overrightarrow{ED} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}$。
所以，$\mathbf{d} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{ED} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} + \nu \mathbf{c}$
唯一性：假设存在实数组$(\lambda_{1}, \mu_{1}, \nu_{1})$，$\lambda \ne \lambda_{1}$，使得$\mathbf{d} = \lambda_{1} \mathbf{a} + \mu_{1} \mathbf{b} + \nu_{1} \mathbf{c}$。此时$\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} + \nu \mathbf{c} = \lambda_{1} \mathbf{a} + \mu_{1} \mathbf{b} + \nu_{1} \mathbf{c}$，即$(\lambda - \lambda_{1}) \mathbf{a} + (\mu - \mu_{1}) \mathbf{b} + (\nu - \nu_{1}) \mathbf{c} = \mathbf{0}$。因为$\lambda \ne \lambda_{1}$，所以$\mathbf{a} = \dfrac{\mu - \mu_{1}}{\lambda_{1} - \lambda} \mathbf{b} + \dfrac{\nu - \nu_{1}}{\lambda_{1} - \lambda} \mathbf{c}$。由共面向量定理，$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$共面，矛盾。故唯一性成立。$\Box$

这样的话，空间向量也能表示成基$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$的线性组合，从而定义仿射标架和仿射坐标。

空间直角坐标系

以空间上一点$O$作为原点，两两垂直的单位向量$\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$为基底。以$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$的方向为正方向、模为单位长度建立三条数轴，分别称为$x$轴、$y$轴和$z$轴。这样就建立了空间直角坐标系（三维笛卡尔坐标系，three-dimensional Cartesian coordinate system）$Oxyz$。
任意两条坐标轴都可以确定一个平面，分别可以确定$Oxy, Oxz, Oyz$三个坐标平面。这三个坐标平面把空间分为八个部分，称为卦限（octant）。
通常，数学上规定三条坐标轴的方位符合右手定则：右手拇指指向$x$轴正方向，食指指向$y$轴正方向，则中指指向$z$轴正方向。这样的坐标系称为右手系。如果把右手定则换为左手定则，则为左手系。我们一般使用右手系。
空间直角坐标系

由空间向量基本定理，对于任一空间向量$\mathbf{a}$，存在唯一的有序实数组$(x, y, z)$，使得

$\mathbf{a} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$

有序实数组$(x, y, z)$就叫做向量$\mathbf{a}$的坐标表示，记作

$\mathbf{a} = (x, y, z)$

设$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}$，则$(x, y, z)$为点$A$在空间直角坐标系中的坐标，记作$A(x, y, z)$。其中，$x$叫做点$A$的横坐标，$y$叫做点$A$的纵坐标，$z$叫做点$A$的竖坐标。

空间向量的坐标运算与平面向量类似，这里直接给出结论：
设$\mathbf{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \mathbf{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$，则

$\begin{align} & \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} = (\lambda x_{1} + \mu x_{2}, \lambda y_{1} + \mu y_{2}, \lambda z_{1} + \mu z_{2}) \\ & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} \\ & \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \arccos \dfrac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}{\sqrt{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2})}} \\ & \mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0 \end{align}$

设$\mathbf{a} = (x, y, z)$，则

$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

向量积

物理中学过，如果物体受到力$\mathbf{F}$的作用，力臂为$\mathbf{l}$，则力矩的大小

$M = |\mathbf{F}| |\mathbf{l}| \sin \langle \mathbf{F}, \mathbf{l} \rangle$

这样，我们也可以定义一种新运算——向量积（vector product），也叫外积（outer product）或叉积（cross product），记作$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$（这里用的是表示叉乘运算的$\times$，读作cross）。向量积的结果仍是一个向量，满足$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \perp \mathbf{a}, (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \perp \mathbf{b}$，

$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta$

其中$\theta$为两个向量的夹角。
向量积可能会得到两个向量，为了保证结果唯一，规定三个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{a} \times \mathbf{b}$组成右手系，即符合右手定则。
规定零向量与任意向量的向量积都是$\mathbf{0}$。

向量积
右手定则

如图，向量积的几何意义：$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$的模就是向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$张成的平行四边形的面积。从向量积的几何意义，可以直观地得到，
向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共线的充要条件是$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$。

设向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$，则称向量$\mathbf{p} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}$为向量$\mathbf{a}$在$\mathbf{b}$上的外投影向量，$\mathbf{p} \perp \mathbf{b}$。

设向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$，$\mathbf{p}$为$\mathbf{b}$在$\mathbf{a}$上的外投影向量，由$|\mathbf{p}| = |\mathbf{b}| \sin \theta$，显然有

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times \mathbf{p}$

而且，$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$就是以$\mathbf{a}$为旋转轴，把$\mathbf{p}$逆时针旋转$\dfrac{\pi}{2}$后得到向量的$|\mathbf{a}|$倍。

向量积满足以下运算律：

反交换律：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-\mathbf{b}) \times \mathbf{a}$
数乘结合律：$(\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (\lambda \mathbf{b})$
左分配律：$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$
右分配律：$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}$

设平面内有两个不共线向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$，若一个向量与$\mathbf{a}, \mathbf{b}$垂直，则必定与该平面垂直，这个向量称为这个平面的法向量（normal）。显然，法向量与$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$共线。

向量积的坐标表示

设$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$为$x, y, z$轴方向的单位向量，由向量积定义易得

$\begin{align} & \mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0} \\ & \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \end{align}$

设$\mathbf{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \mathbf{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$，则

$\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (x_{1} \mathbf{i} + y_{1} \mathbf{j} + z_{1} \mathbf{k}) \times (x_{2} \mathbf{i} + y_{2} \mathbf{j} + z_{2} \mathbf{k}) \\ &= x_{1} x_{2} \mathbf{i} \times \mathbf{i} + x_{1} y_{2} \mathbf{i} \times \mathbf{j} + x_{1} z_{2} \mathbf{i} \times \mathbf{k} + y_{1} x_{2} \mathbf{j} \times \mathbf{i} \\ &+ y_{1} y_{2} \mathbf{j} \times \mathbf{j} + y_{1} z_{2} \mathbf{j} \times \mathbf{k} + z_{1} x_{2} \mathbf{k} \times \mathbf{i} + z_{1} y_{2} \mathbf{k} \times \mathbf{j} + z_{1} z_{2} \mathbf{k} \times \mathbf{k} \\ &= (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \mathbf{i} + (z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}) \mathbf{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \mathbf{k} \end{align}$

即

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}, z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2})$

设坐标系中点$A(x_{1}, y_{1}, z_{1}), B(x_{2}, y_{2}, z_{2})$，就能推得三角形面积的坐标解法：

$\begin{align} S_{\triangle OAB} &= \dfrac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{(y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2})^{2} + (z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2})^{2} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2})^{2}} \end{align}$

取$z_{1} = z_{2} = 0$，就能得到平面内的特殊情况：

$S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2} |x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|$

对于向量积的向量积，可以用二重外积公式简化计算：

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}$

要证明，只要建立一个合适的坐标系，使得$\mathbf{a}$与$x$轴平行，且$\mathbf{b}$位于$xOy$平面内。设$\mathbf{a} = (a, 0, 0), \mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, 0), \mathbf{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$，直接带入坐标计算即可证得。$\Box$

设向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$张成的平行六面体体积为$V$，则

$V = |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}|$

用坐标法证明非常简单。适当建立坐标系，可以设$\mathbf{a} = (a, 0, 0), \mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, 0), \mathbf{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$。此时$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, a b_{2}), (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = a b_{2} c_{3}$；平行四边形面积$S = |a b_{2}|$，高$h = |c_{3}|$，平行六面体体积$V = Sh = |a b_{2} c_{3}|$。$\Box$
进一步研究，还可以发现，当$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$组成右手系时，$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = V$；组成左手系时，$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = -V$。

根据其几何意义（平行六面体体积），定义三个向量的混合积（triple product）$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$。混合积的结果是一个实数。
由混合积的几何意义可知，
向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$共面的充要条件是$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = 0$。因此，若$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$中存在相等向量，则$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = 0$。
此外，还能得到混合积的一些运算性质：

$\begin{align} & (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = (\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{a}) = (\mathbf{c}, \mathbf{a}, \mathbf{b}) \\ & (\lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{v}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = \lambda (\mathbf{u}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) + \mu (\mathbf{v}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) \end{align}$

由$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = (\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{a})$可得，

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$

点乘和叉乘交换位置后结果不变。

由混合积的运算性质和二重外积公式可以推出拉格朗日恒等式（Lagrange’s identity）：

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) (\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}) (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$ $\begin{align} (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) &= (\mathbf{c}, \mathbf{d}, \mathbf{a} \times \mathbf{b}) \\ &= (\mathbf{a} \times \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}) \\ &= ((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}) \cdot \mathbf{d} \\ &= ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}) \cdot \mathbf{d} \\ &= (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) (\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}) (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \quad \Box \end{align}$

$n$维向量

设$n$为正整数，定义$n$维（欧几里得）空间$\mathbb{R}^{n}$为所有$n$维实数组的集合，即

$\mathbb{R}^{n} = \{(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) | x_{k} \in \mathbb{R}, k = 1, 2, \cdots, n\}$

$n$维空间的每一个元素都是$n$维向量。设向量$\mathbf{a} = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$，则它的模

$|\mathbf{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}}$

零向量则是指$(0, 0, \cdots, 0)$。

设$\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}), \mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})$，定义线性运算

$\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} = (\lambda a_{1} + \mu b_{1}, \lambda a_{2} + \mu b_{2}, \cdots, \lambda a_{n} + \mu b_{n})$

设向量$\mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{k}$，实数$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{k}$不全为零，则称$\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \mathbf{a}_{i}$为它们的线性组合。
若向量$\mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{k}$满足它们的线性组合恒不为零向量，即$\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} \mathbf{a}_{i} = \mathbf{0} \Rightarrow \lambda_{1} = \cdots = \lambda_{k} = 0$，则称它们线性无关（linearly independent），否则称线性相关（linearly dependent）。
两个线性相关的向量称为共线向量。

关于线性无关，有一个非常重要的定理：
设$n$维向量$\mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{k}$线性无关，则$k \le n$。
令$\mathbf{e}_{i} = (0, \cdots, 1, \cdots, 0), i = 1, 2, \cdots, n$，其中$1$排在第$i$位，则易知$\mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n}$线性无关，此时可以取到$k = n$。
$n$个线性无关的向量称为$n$维空间的一组基，而$\{\mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n}\}$则称为正交标准基。

从平面向量和空间向量推广，有基向量分解定理：
设$\{\mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n}\}$为$n$维空间的一组基，则对于任一$n$维向量$\mathbf{b}$，存在唯一一组实数$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$使得

$\mathbf{b} = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \mathbf{a}_{i}$

对于两个$n$维向量$\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}), \mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})$，定义数量积

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$

非零向量的夹角

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \arccos \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$或$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \dfrac{\pi}{2}$时称两个非零向量垂直或正交。

根据论文Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces，向量积只在$3, 7$两个维度中有定义。