立体几何基本公理
平面几何研究的对象是点(point)与直线(line),而在立体几何中,平面(plane)也成为了研究对象。
尽管平面是无限延伸的,但在画图时我们用一个平行四边形来表示平面。平面可以用一个希腊字母表示,例如$\alpha, \beta$;也可以用平面内的点表示,例如平面$ABCD$。
平面几何是在欧几里得(Euclid,约前325—约前270)的五条公理上建立起来的,这些公理在立体几何中仍然成立,并与下面的三条立体几何基本公理共同构成了立体几何。
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欧洲中世纪史始于5世纪晚期,终于15世纪晚期,一般以476年西罗马帝国的灭亡作为中世纪开始的标志,以1453年东罗马帝国的灭亡作为结束的标志。中世纪前承古典时代,后继近代的文艺复兴与大航海时代。中世纪可以分为三个时期:前期(5世纪晚期—10世纪)、中期(10世纪—13世纪)、后期(13世纪—15世纪晚期)。
第一章“民族大迁徙与西罗马的灭亡”介绍了中世纪的前奏——民族大迁徙与西罗马的灭亡(5世纪),第二章“早期西方基督教世界”介绍了西欧的基督教世界(6世纪—7世纪),第三章“拜占庭帝国与伊斯兰文明”介绍了中世纪前期东方的拜占庭帝国与伊斯兰文明,第四章“加洛林王朝”介绍了法兰克王国的加洛林王朝(7世纪—9世纪),第五章“新的政治格局”介绍了查理曼帝国的分裂与外敌的入侵形成的新政治格局(9世纪—10世纪),第六章“封建制度与农业社会”介绍了中世纪的基本政治制度和经济制度;
第七章“经济的发展”介绍了中世纪中期的经济发展与社会变化,第八章“宗教与学术”介绍了基督教的发展,第九章“基督教世界的征服与迫害”介绍了西方基督教世界的对外扩张与民族迫害,第十章“教皇政权与神圣罗马帝国”介绍了教权与君权的纷争(12世纪—13世纪),第十一章“政府的发展”介绍了欧洲中央集权国家的形成,第十二章“中世纪中期的思想文化”介绍了中世纪中期欧洲的思想和文学、艺术;
第十三章“危机与复苏”介绍了西欧的由盛转衰,第十四章“民族国家的发展”介绍了欧洲民族国家的发展,第十五章“中世纪晚期的思想文化”介绍了中世纪晚期的思想和文学、艺术。
各领域的一些书籍整理。
陈昌来《应用语言学导论》
Rosamond Mitchell, Florence Myles, Emma Marsden. Second Language Learning Theories
在乐理基础中,我们学习过了和弦与调式等理论。在和声学中,我们会深入研究和弦的构成与进行,也就是和声(harmony)。
每个正三和弦的上方三度或下方三度都各有一个副三和弦,由于正三和弦和相邻的副三和弦有两个共同音,因此功能接近。
主和弦I的上方三度为iii,下方三度为vi,这两个副三和弦与主和弦一起,被归为主功能组(tonic)和弦,记为T(在和声小调中记为t)。主功能组和弦是最稳定的。
类似地,属和弦V和两个副三和弦viio、iii都属于属功能组(dominant)和弦,记为D(在和声小调中记为D)。属功能组和弦含有最不稳定的导音,并且属七和弦V7和导和弦viio中下属音和导音构成了极不协和的三全音,因此属功能组是最不稳定的。
下属功能组(subdominant)和弦由下属和弦IV和vi、ii组成,记为S(在和声小调中记为s)。下属功能组和弦含有下属音但不含导音,因此和弦的张力介于主功能组和弦与属功能组和弦之间,可以起到从主功能组转向属功能组的衔接过渡作用。
七和弦的功能与三和弦相同。
主功能组和弦(T) | 下属功能组和弦(S) | 属功能组和弦(D) |
---|---|---|
vi、I、iii | ii、IV、vi | iii、V、viio |
有一些量,既具有大小,也具有方向,例如物理学中的力和速度。这样的量,我们称之为向量(vector),在物理上也称为矢量。与之相对,只有大小、没有方向的量(实际上就是实数),我们称之为标量(scalar)或数量。
在空间中,我们可以用一个带箭头的有向线段来表示向量,箭头指向表示方向,线段长度表示大小。在欧氏几何中,向量被严格定义为空间中点的一个有序对$(A, B)$,$A$为起点(initial point),$B$为终点(terminal point),记作$\overrightarrow{AB}$。有向线段的长度$|\overrightarrow{AB}|$称为向量的长度或模(magnitude)。
在不需要知道向量的起点和终点的情况下,向量可以用粗体字母表示,如向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$。手写可以用$\vec{a}, \vec{b}$。