证明$1 + 1 = 2$

发表于 2019/05/11, 周六分类于数学笔记阅读次数： Disqus：本文字数： 631 阅读时长 ≈ 2 分钟

前言

什么？$1 + 1 = 2$需要证明？这不是公理吗？（并非指哥德巴赫猜想）
可能很多人都是这样想的。也许在以前，$1 + 1 = 2$就是一个定义，是无法被证明的存在。但是现在，已经有了一套严密的数学系统，可以证明$1 + 1 = 2$。

皮亚诺公理

首先，我们来了解一下皮亚诺公理：（摘自维基百科）

In mathematical logic, the Peano axioms, also known as the Dedekind–Peano axioms or the Peano postulates, are axioms for the natural numbers presented by the 19th-century Italian mathematician Giuseppe Peano. These axioms have been used nearly unchanged in a number of metamathematical investigations, including research into fundamental questions of whether number theory is consistent and complete.
在数理逻辑中，皮亚诺公理，又称戴德金-皮亚诺公理或皮亚诺公设，是由19世纪意大利数学家朱塞佩·皮亚诺提出的自然数公理。这些公理几乎未经更改地使用在许多元数学研究中，包括对数论是否一致与完备等基本问题的研究。

现代版本的皮亚诺公理共有5条，这5条公理定义了一个由自然数构成的数学世界：

$0$是自然数；

对于任意自然数$n$，都有一个后继$S(n)$，$S(n)$也是自然数；（也就是说自然数对于$S$运算是封闭的）

对于任意自然数$m, n$，如果$S(m) = S(n)$，那么$m = n$；（也就是说$S$是单射）

对于任意自然数$n$，$S(n) = 0$都不成立；（也就是说不存在后继为$0$的自然数）

对于一元谓词$P$，如果$P(0)$成立，且对于任意自然数$n$，$P(n)$成立可以证明$P(S(n))$也成立，那么对于任意自然数$n$，$P(n)$都成立。（这是数学归纳法的一阶形式化表达，即归纳公理）

皮亚诺定义的自然数世界是这样的：$\{0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), \cdots\}$。当然，我们早已给它们起好了名字：$\{0, 1, 2, 3, \cdots\}$。你要是想让$1$的后面是$10$，那也没有问题，因为它只是一个名字，并不会影响计算。

$1+1=2$

现在有了自然数，我们就可以接着定义加法了。
我们定义，对于任意自然数$m$和$n$：

$0 + n = n$；
$S(m) + n = S(m + n)$。

于是我们就能证明$1+1=2$了： \[ \begin{align} 1 + 1 &= S(0) + S(0) \\ &= S(0 + S(0)) \\ &= S(S(0))\\ &= 2 \quad \Box \end{align} \]

前言

皮亚诺公理

\(1+1=2\)