前言
什么？$1 + 1 = 2$需要证明？这不是公理吗？（并非指哥德巴赫猜想）
可能很多人都是这样想的。也许在以前，$1 + 1 = 2$就是一个定义，是无法被证明的存在。但是现在，已经有了一套严密的数学系统，可以证明$1 + 1 = 2$。
皮亚诺公理
首先，我们来了解一下皮亚诺公理：（摘自维基百科）
皮亚诺公理（英语：Peano axioms；意大利语：Assiomi di Peano），也称皮亚诺公设，是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺用了五条简单的公理，定义了一个由自然数构成的数学世界。
现在，让我们来看看这五条公理：
- $0$是自然数；
- 每一个确定的自然数$a$，都有一个确定的后继数$a’$，$a’$也是自然数；（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2，2的后继数是3等等）
- 对于每个自然数$b, c$，$b = c$当且仅当$b’ = c’$；（也就是说不同的自然数有不同的后继数）
- $0$不是任何自然数的后继数；
- 任意关于自然数的命题，如果证明它对自然数$0$是真的，且假定它对自然数$n$为真时，可以证明它对$n’$也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理假设了数学归纳法的正确性）
皮亚诺定义的自然数世界是这样的：$\{0, 0’, 0’’, 0’’’, \cdots\}$，当然，我们早已给它们起好了名字：$\{0, 1, 2, 3, \cdots\}$。你要是想让$1$的后面是$233$，那也没有问题，因为它只是一个名字，并不会影响计算。
$1+1=2$
现在有了自然数，我们就可以接着定义加法了。
我们定义：
- 对于任意自然数$m$，$0 + m = m$；
- 对于任意自然数$m$和$n$，$m’ + n = (m + n)’$。
于是我们就能证明$1+1=2$了：
